Tratamiento Estadístico de Datos

Statistical Data Treatment

Competencias a desarrollar por el estudiante:

  • Aplica los estadísticos más comunes utilizados en Química Analítica
  • Explica los errores absolutos, relativos, determinados e indeterminados. Tipos y fuentes.
  • Aplica a las mediciones prácticas las reglas para rechazar resultados con desviaciones grandes, las reglas para redondear un número y las reglas para operar con cifras significativas, y a las operaciones matemáticas que involucren mediciones.

Subnúcleos Temáticos

  • Tratamiento estadístico de datos
  • Definición de los estadísticos
  • Errores
  • Tipos de errores: determinados e indeterminados
  • Precisión y exactitud
  • Convenio sobre cifras significativas
  • Resolución de problemas

TRATAMIENTO ESTADÍSTICO DE DATOS

Las mediciones siempre van acompañadas de errores e incertidumbre. Algunos de éstos, se deben a equivocaciones del experimentador. Lo más común es que los errores se deriven de calibraciones o estandarizaciones deficientes, o de variaciones e incertidumbres aleatorias en los resultados. Las calibraciones, estandarizaciones y análisis frecuentes de muestras conocidas a veces se pueden utilizar para disminuir los errores, salvo los aleatorios y las incertidumbres. Sin embargo, en última instancia los errores de medición son parte inherente del mundo cuantificado en el que vivimos. Por todo esto, es imposible efectuar análisis químicos libres de errores o incertidumbres. Lo único que se puede esperar es minimizar los errores y estimar su tamaño con exactitud aceptable. (Skoog et al., 2005)

En una ciencia experimental como la Química, se requiere mucho esfuerzo para reunir los datos y, debido a que la química se ha desarrollado como una ciencia moderna, la mayoría de los datos se han convertido en datos cuantitativos; esto quiere decir que se derivan de mediciones. Por consiguiente, es importante desarrollar la habilidad de evaluar los datos y aprender a sacar conclusiones justificadas, mientras que se rechazan interpretaciones que no están garantizadas debido a las limitaciones de las mediciones.

La mayoría de las técnicas para el tratamiento de datos analíticos están basadas en conceptos estadísticos. Cada vez se reconoce más que los métodos estadísticos, son eficaces en la planeación de los experimentos, lo que dará mayor información a partir de las mismas mediciones, y para” abreviar” los datos en tal forma que su significado se presente en forma concisa. Por otro lado, no debe esperarse que la estadística disminuya la necesidad de obtener buenas mediciones, además que los métodos estadísticos son más poderosos cuando se aplican a datos válidos.

DEFINICIÓN DE LOS ESTADÍSTICOS

Por lo general, un experimentador analítico repite el análisis de una muestra de dos a cinco veces. Los resultados individuales de una serie de medidas repetidas raramente serán exactamente los mismos; así, pues, se impone seleccionar el “mejor” valor central para la serie. Intuitivamente, el trabajo de más que supone repetirlo se justifica de dos modos.

  • Primero, es evidente que el valor central de una serie será más real que cualquiera de los resultados individuales
  • Segundo, las variaciones entre los resultados encontrados, proporciona, de algún modo, una medida fiable del margen para el “mejor” valor que se seleccione.

De manera tal que, cualquiera de esas dos cantidades, la media y la mediana, sirven como valor central de una serie de medidas.

Media, media aritmética y promedio (x)

Son términos sinónimos del valor obtenido por división de la suma de una serie de medidas repetidas por el número de resultados individuales de la serie.

QA4

Mediana

Es el resultado alrededor del cual se distribuyen por igual los demás; la mitad son numéricamente mayores y la otra mitad, numéricamente más pequeños. La selección de la mediana se efectúa directamente si la serie consta de un número impar de medidas; para una serie que contiene un número par de medidas, se toma el promedio del par central.

Ejemplo:

Calcule la media y la mediana de los siguientes datos: 19,4 mL, 19,5 mL, 19,6 mL, 19,8 mL, 20,1 mL y 20,3 mL.

QA5

El conjunto tiene un número par de medidas, de modo que la mediana es el promedio del par central:

QA6

Idealmente, la media y la mediana deberían ser numéricamente idénticas; sin embargo, la mayoría de las veces esta condición no se cumple, particularmente cuando es pequeño el número de medidas de la serie.

PRECISIÓN

Se utiliza el término precisión para describir la reproducibilidad de las medidas; en otras palabras, la cercanía entre los resultados obtenidos exactamente de la misma manera. Son tres los términos de uso generalizado para describir la precisión de un conjunto de datos duplicados: desviación estándar, varianza, y coeficiente de variación. Los tres son funciones que informan sobre cuánto difiere de la media un resultado xi, lo que se llama desviación de la media, di

Desviación de la media (método absoluto para expresar la precisión)

Consiste en la diferencia numérica, sin indicar el signo, entre un valor experimental y la media para un conjunto de datos.

QA7

Ejemplo

Un análisis de cloruro proporciona los siguientes datos: 24,39 g, 24,19 g y 24,36 g. Calcule la precisión absoluta de la medición.

Muestra

 Masa de cloruro (g) Desviación respecto a la media Desviación respecto a la mediana

x1

 24,39 0,08

0,03

X2

 24,19 0,12

0,17
X3 24,36 0,05

0,00

Media: 24,31 g

Mediana: 24,36 g

QA8

Precisión relativa

A menudo es conveniente indicar la precisión relativa a la media (o mediana) en términos de porcentaje o tanto por mil.

Para el ejemplo anterior:

QA9

EXACTITUD

Indica la proximidad de una medida a su valor aceptado y se expresa en términos de error. La exactitud supone la comparación con un valor verdadero o aceptado como tal; por el contrario, la precisión compara un resultado con otras medidas realizadas de la misma manera.

Se acostumbra describir la exactitud de una medida en términos de error absoluto, que se define como:

QA11-1

El error absoluto, E, es la diferencia entre el valor observado, xi, y el valor aceptado, xv. Hay la posibilidad de que el valor aceptado esté sujeto a una incertidumbre importante. En consecuencia, suele ser difícil establecer una estimación real para el error de una medida.

Volviendo al ejemplo anterior, supóngase que el valor aceptado para el porcentaje los gramos de cloruro en la muestra es de 24,36 g. Por tanto, el error absoluto de la media es:

QA11

Es costumbre mantener el signo del error para indicar cuándo el resultado está por encima o por debajo.

Error relativo

Se expresa como porcentaje o tanto por mil del valor aceptado. Así, para el análisis de cloruros se encuentra:

QA12

QA4

Ilustración de la exactitud y precisión por medio del ejemplo de los dardos en una diana.

(ilustración tomada de https://manoa.hawaii.edu)

ERRORES

Un error es la inexactitud que se acepta como inevitable al comparar una magnitud con su patrón de medida. El error de medición depende de la escala de medida empleada, y tiene un límite sQ20egún su origen, cabe clasificar en dos amplias categorías las incertidumbres que se producen en un análisis químico:

  • Errores determinados (errores sistemáticos): son los que tiene un valor definido, susceptibles (en teoría, aunque no en la práctica) de ser medidos y tenidos en cuenta.
  • Errores indeterminados (errores aleatorios): son los que proceden de la utilización de un sistema de medida al máximo de sus posibilidades. Resulta imposible identificar positivamente estos errores que además no presentan un valor definido medible, ya que oscilan de modo aleatorio.

Tipos de Errores

Tipos de errores determinados

Las fuentes más comunes de errores determinados son:

  • Los errores instrumentales: causados por el comportamiento no ideal de los instrumentos, las calibraciones deficientes o el uso de condiciones no apropiadas.
  • Los errores de método: se derivan del comportamiento químico o físico no ideal de los sistemas analíticos
  • Los errores personales: resultan del descuido, falta de atención o limitaciones personales del experimentador.

Tipos de errores indeterminados

Desviación estándar de la muestra: una medida de la precisión

QA13

CONVENIO SOBRE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Son las cifras que dan a conocer con precisión el valor de un dato obtenido a través de una medición o un cálculo. Son los dígitos que se conocen con certeza y el primer dígito incierto.

QA14

QA15

REGLAS PARA MANEJAR CIFRAS SIGNIFICATIVAS EN LOS CÁLCULOS

Sumas y restas:

El número de cifras significativas a la derecha del punto decimal en la operación final, está determinando por el número más pequeño de cifras significativas a la derecha del punto decimal en cualquiera de los números originales.

89,332 + 1,1 = 90,432

El resultado se expresaría con una cifra significativa después del punto decimal = 90,4

2,097 – 0,12 = 1,977

El resultado se expresaría con dos cifra significativa después del punto decimal = 1,98

Productos y cocientes:

En la multiplicación y en la división, el número de cifras significativas del producto o el cociente resultante, está determinando por el número original que tiene el número más pequeño de cifras significativas.

4,5039 x 2,8 = 12,61092

El resultado se expresaría con dos cifra significativa después del punto decimal = 13

6,85/ 112,04 = 0,0611388

El resultado se expresaría con dos cifra significativa después del punto decimal = 0,0611

Debe tenerse en cuenta que cuando se multiplica o se divide por números exactos obtenidos por definición o al contar varios objetos, el resultado no se redondea a cifras significativas, porque los números exactos son infinitos por definición

0,2786 x 8 = 2,2288

13,32 /2 = 6,66

Recuerde: es particularmente importante no efectuar el redondeo hasta q se haya terminado el cálculo

Actividades Propuestas:

  1. Explique la diferencia entre:
    • error determinado e indeterminado
    • media y mediana
    • error absoluto y error relativo
  2. Mencione tres tipos de errores sistemáticos
  3. Describa al menos tres formas en las que podría ocurrir un error sistemático durante el uso de una pipeta para transferir un volumen de líquido conocido
  4. Calcule la media y mediana de cada uno de los conjuntos de datos siguientes. Determine la desviación respecto a la media para cada punto en los conjuntos y encuentre la desviación de la media de cada conjunto.
    • 0,0110 0,0104             0,0105
    • 188 190      194      187
    • 39,83 39,61   39,25   39,68
    • 850 862      849      869      865
  5. Cuántas cifras significativas hay en?
    • 0,0607
    • 9966
    • 0,0003644
    • 7357027
    • 9004
    • 31814
    • 0,000325
  6. Con Cuántas cifras significativas se expresa el resultado de?
    • 0,25 x 12
    • 12,236/8,5
    • 2,45+ 0,145
    • 48,54 – 24,569

Referencias

  • Skoog D., West D. (1983).Fundamentos de química analítica. Venezuela: Editorial Reverté.
  • Skoog D, West D, Holler F., Crouch S.  (2005).Fundamentos de química analítica. México: Thomson